Logaritmo. O que é? De onde veio? Para que serve?

O logaritmo, ou "log" para os íntimos, foi criado para facilitar os cálculos relacionados com a trigonometria. A ideia inicial era substituir contas mais elaboradas, como divisões por subtrações, multiplicação por soma, potenciação por multiplicação e radiciação por divisão.

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A Naysa Oliveira, lá do blog Brasil Escola, que é graduada em matemática, vai contar pra nós a história do log.

a etimologia da palavra logaritmo é

logaritmo = lógos + arithmós

que dignifica razão e número, respectivamente.

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"Na matemática, o logaritmo de um número é o expoente a que outro valor fixo, a base, deve ser elevado para produzir este número"¹ Oi? 

Difícil de entender né? Mas calma lá, que tal um exemplo para clarear as ideias? O logaritmo do número 1000 na base 10 é 3, porque 10 ao cubo é 1000 (1000 = 10 × 10 × 10 = 10³). 

Acho que já dá para ir pegando o jeito, mas vamos continuar. A fórmula para fazer o cálculo do logaritmo é: 

loga b = x ↔ b^x = a

Onde, na primeira parte que é a forma logarítmica, a é a base do logaritmo; b é o logaritmando ou argumento; x é o valor do logaritmo. Na segunda parte, temos a forma exponencial, onde a é a base da potência, b é a potência e x é o expoente. 

Lemos a expressão assim "log de b na base a é igual a x". 

Lembra quando eu disse que 1000 estava na base 10? Então, na forma logarítmica, 10 é o (a), a base do logaritmo. E o 1000? O 1000 é o logaritmando, ou seja (b). E como 3 é a nossa resposta, ele é o (x), o valor do logaritmo. Vamos escrever para entender melhor.

Na primeira parte vemos a forma logarítmica e na  segunda parte podemos observar a forma exponencial, onde o 10 é a base, 3 é o expoente e 1000 é potência.

Para ficar ainda mais claro, vamos resolver alguns exemplos:

1. Calcule:

a) log3 27=?            e) log2 8=?

b) log5 125=?          f) log5 5=?

c) log2 64=?

d) log 100=?

Na hora de resolvermos o log, temos que dar um giro, fazendo com que se torne uma operação exponencial e aí a resolvemos. 

log₃ 27= x ↔ 3^x=27

a) Para resolver a operação 3^x=27, primeiro temos que fatorar o 27 e vamos encontrar 3³ depois, como vamos ter uma igualdade de mesma base e expoentes diferentes, igualamos os expoentes. Isso nos dá:

3^x=27

3^x=3³

x=3

Tente resolver os outros exemplos agora, as respostas estão aqui.

Observação: Na forma logarítmica, quando não há nenhum número ou letra no lugar da base (a), significa que ela vale 10. Ms isto é apenas uma questão de notação. 

Agora que você já aprendeu o conceito, que tal resolver alguns exercícios?

• Lista de exercícios aqui, procure por "logaritmo"

Me conta aqui nos comentários se você tem alguma dúvida, ou se sabe mais um pouquinho sobre os logaritmos. 😃

Referência

OLIVEIRA, Naysa. Logaritmo. In Brasil Escola. Disponível em: <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/logaritmo.htm>. Acessado em 30/06/2016. 

O valor absoluto de um número (parte 2)

Já vimos as definições de valor absoluto, módulo e número simétrico em um post anterior (clique aqui para acessar) e agora vamos ver as propriedades de módulo, isso facilitará na hora da resolução dos exercícios. 

Nas propriedades, para qualquer que seja x, temos y pertencente ao conjunto dos Reais. 

I. |x|>0

Sabemos então que todo valor de um módulo é sempre positivo. 

II. |x|=0 ↔ x=0

O módulo de um número é 0, se e somente se este número for 0. 

III. |x| . |y|= |x.y|

O produto dos módulos de x e y é igual ao módulos de x vezes y. 

IV. |x|² = x²

O quadrado do módulo de x, é x ao quadrado. 

V. |x+y|≤|x|+|y|

O módulo da soma de x e y é menor ou igual a soma do módulo de x e do módulo de y separadamente. 

VI. |x-y|≥|x|-|y|

O módulo da subtração de x e y é maior ou igual a subtração do módulo de x e do módulo de y separadamente. 

VII. |x|≤a e a>0 ↔ -a≤x<a

O módulo de x é menor ou igual à um número qualquer (a) positivo, se e somente se, x for maior ou igual à -a e menor que a. 

VIII. |x|≥a e a>0 ↔ x≤-a ou x≥a

O módulo de x é maior ou igual à um número qualquer (a) positivo, se e somente se, x for menor ou igual à -a ou se x for maior ou igual à a. 

As propriedades de módulo são fundamentais na hora de resolver exercícios, não deixe de anotá-las em seu material. 

Bons estudos 😃

• Para resolver os exercícios, clique aqui. 

Desabafo: Não vou ser mais professora?

Boa noite. Estive aqui pensando com meus miolos, por que a vida é tão dura com a gente? Sonhamos, planejamos, idealizamos e ela vem e "paaaa" joga um balde a água fria em cima de nossas cabeças. 

Há um ano e meio, eu venho conquistando aos pouquinhos meu sonho, desde crinancinha, de ser professora. Sei que pode parecer bobo ou pequeno, mas esse realmente é meu sonho. Professora. É a resposta que eu sempre dei para quando ouvia a pergunta "o que você vai ser quando crescer?". Sofri, ah como sofri para estar aqui, não só eu, como minha mãezinha, passamos apertos, passamos nervoso, ficamos noites sem dormir, tivemos várias portas fechadas, mas mesmo assim não desistimos. 

No meio de tanto perrengue, surgiu uma luzinha no final do túnel: Aprovada no ProUni! Deus! Não poderia ter nada melhor, as coisas vão dar certo e tudo vai melhorar. Boba, pensei. Só que como já disse, a vida é má. Consegui a bolsa e um mês depois veio a notícia. BOOOM. A bomba explodiu. "Isabela, seu curso vai fechar, a faculdade não tem mais condições financeiras para sustentar o curso de matemática, semestre que vem não haverá mais aulas". 

O quê? Isso não poderia estar acontecendo. 

Senti um choque, um aperto. Parecia que alguém tinha pego meu coração e esmagado com as próprias mãos. Meu Deus, por que isso agora? 

A luz que eu tinha se apagou, o que eu ia fazer? Não iria mais viver meu sonho, não iria mais me tornar uma professora tão boa quanto àqueles que tive. A única coisa que eu podia fazer era chorar, chorar e chorar. Mas sabe de uma coisa, nem tudo é tão ruim assim. Temos nos grandes problemas, as grandes soluções. E bingo! Tudo tinha se ascendido novamente. 

Não só eu, mas todos meus colegas de faculdade, de ambos os cursos que estavam na forca (química, física e matemática) vimos na dor um momento para nos unirmos, pois todos nós tínhamos um objetivo em comum: lecionar. 

Juntos, alunos, coordenadores e professores do Instituto Superior de Educação, carinhosamente chamado de "ISE", pensamos em alternativas, em meios de fazer com que nosso curso e nosso sonho não parasse ali pela metade. E com todo o nosso empenho, união e vontade de continuar, conseguimos três propostas, e elas foram apresentadas à reitoria. Negada. Negada. E mais uma vez, negada. Nenhuma delas foram consideradas "viáveis" pela administração da fundação. Tivemos então uma reunião, e puxa, o que foi aquilo? Um turbilhão de emoções, choro, fúria, apelo! Nós estávamos mais do que nunca unidos, e contra tudo aquilo, não queríamos abrir mão de nosso futuro. 

Tava tudo ferrado, tudo! Só que, eu sei que Deusinho não falha comigo. Ele me mandou, não um professor, nem um coordenador, mas um anjo da guarda! Esse cara, ele salvou a vida de todos nós, simplesmente por amor à profissão, amor aos alunos. Ele se desdobrou em um milhão e conseguiu de um jeitinho apertado encaixar as matérias, fez varias teias, varias compilações. Mas isso não importava, iríamos nos formar! 

A última carta da manga foi jogada á mesa. E sabe qual foi a resposta da reitoria? SIM! Ela disse sim para a proposta. A GENTE VAI SE FORMAR! O SONHO NÃO ACABOU!!!

Queria muito poder agradecer à todos, por termos sido tão unidos e não termos desistido quando a corda estava prestes à se arrebentar. Agradecer por todos acreditarem que sempre há uma esperança. E agradecer por tê-los como companheiros! Espero levá-los para vida toda ❤ 

Somos exatas por amor! 

E à você, meu querido leitor, fica esta mensagem: nunca desista dos seus sonhos, se é seu, pode ter certeza que você vai conquistar. Um beijo.