1. Relação de pertinência (∈)
💑 relacionamento entre elemento e conjunto: pertencer
Pertencer, significa fazer parte de alguma coisa. Desta forma, quando queremos indicar que um determinado elemento (que a gente sempre apelidada de x) faz parte de um conjunto A, matematicamente dizemos que o elemento x pertence ao conjunto A.
Só que como na matemática, a gente representa tudo (ou quase tudo) por símbolos, dizer que um elemento x pertence a um conjunto A é o mesmo que escrever: x ∈ A.
∈ Esse símbolo que parece a letra E, só que mais redondinha, é uma versão da letra grega epsílon e está consagrado em toda matemática como símbolo indicativo de pertinência.
Para mostrarmos que um elemento x não pertence a um conjunto A, escrevemos: x ∉ A. Cortando a letrinha grega na diagonal, indicando negação ∉ .
Pertencer, significa fazer parte de alguma coisa. Desta forma, quando queremos indicar que um determinado elemento (que a gente sempre apelidada de x) faz parte de um conjunto A, matematicamente dizemos que o elemento x pertence ao conjunto A.
Só que como na matemática, a gente representa tudo (ou quase tudo) por símbolos, dizer que um elemento x pertence a um conjunto A é o mesmo que escrever: x ∈ A.
∈ Esse símbolo que parece a letra E, só que mais redondinha, é uma versão da letra grega epsílon e está consagrado em toda matemática como símbolo indicativo de pertinência.
Para mostrarmos que um elemento x não pertence a um conjunto A, escrevemos: x ∉ A. Cortando a letrinha grega na diagonal, indicando negação ∉ .
E que tal então um exemplo?
Consideramos o conjunto A = {0, 2, 4, 6, 8}.
➜ O algarismo 2 pertence ao conjunto A: 2 ∈ A
➜ O algarismo 7 não pertence ao conjunto A: 7 ∉ A
2. Relação de inclusão (⊂)
💑 relacionamento entre dois conjuntos: conter
Conter, significa abrigar. Podemos dizer que o conjunto A está contido no conjunto B com uma condição: se todo elemento que pertence a A também pertencer a B.
Representando esta relação matematicamente, escrevemos A ⊂ B, e lemos "A está contido em B" (só pra ficar mais chique, rs).
A letrinha que representa a expressão "está contido em" é tipo um C só que mais magrinho e puxadinho ⊂ . O lado aberto da letra sempre estará virado para o conjunto que contém o outro (pensemos "o conjunto que abriga"), porém, existe alguns detalhes importantes que você deve ficar atento!
Vamos imaginar que B é o conjunto que abriga o conjunto A, certo?
Bem, se o A estiver escrito antes do B (se A estiver à esquerda), vamos usar o símbolo aberto para o lado do B: A ⊂ B, e vamos falar (e pensar também, viu?) "A está contido em B".
Agora, se o A vier depois do B (se A estiver à direita) vamos votar a parte aberta para B, ficando assim: B ⊃ A, e quando esta abertura muda de posição, também mudamos nossa fala (e pensamento) dizendo que "B contém A".
Parece complicado, mas com o tempo você se acostuma. Recapitulando:
A ⊂ B lê-se: A contido em B
B ⊃ A lê-se: B contém A
O conjunto A não estará contido em B quando existir pelo menos um elemento de A que não pertença a B, ou seja, o conjunto B precisa abrigar TODOS os elementos do conjunto A para afirmarmos que A ⊂ B, caso contrário A não está contido em B.
Indicamos que o conjunto A não está contido em B desta maneira: A ⊄ B e lemos "A não contido em B".
Subconjuntos
Quando um conjunto A estiver contido em um conjunto B, vamos falar que A é um subconjunto de B, pois todo elemento do conjunto A pertence ao conjunto B também. E falando nisso, note que todo elemento do conjunto A pertence ao próprio conjunto A, não é mesmo? Então, dizemos que A é subconjunto de A. Sendo assim: todo conjunto é subconjunto dele mesmo 😊
Conjunto das partes
O conjunto das partes é formado por todos os subconjuntos (ou partes) de um determinado conjunto A. Chamamos este conjunto de "conjunto das partes de A" e escrevemos assim: P(A).
Dado: A = {1, 2, 3}
Temos: P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.
Se A é um conjunto de n elementos, então P(A) terá 2ⁿ elementos.
No exemplo que a gente viu, o conjunto A possui 3 elementos, então se colocarmos na formulinha do conjunto das partes vamos ter: P(A) = 2³ = 8 elementos.
💥 Nota: Dentro de um conjunto, um outro conjunto pode ser tratado como um dos seus elementos.
A relação de inclusão refere-se, sempre, a dois conjuntos.
❌ Errado
2 ⊂ {0, 2, 4, 6, 8}
{2} ∈ {0, 2, 4, 6, 8}
✔ Correto
2 ∈ {0, 2, 4, 6, 8}
{2} ⊂ {0, 2, 4, 6, 8}
{2} ∈ {0, {2}, 4, 6, 8}
{2} ⊄ {0, {2}, 4, 6, 8}
Podemos notar que existe uma diferença entre 2 e {2}. O primeiro é o elemento 2, o segundo é o conjunto formado pelo elemento 2. Um par de sapatos e uma caixa com um par de sapatos dentro são coisas diferentes não é mesmo? Assim também, os conjuntos e os elementos, portanto devem ser representados de formas diferentes.
Veja só o exemplo 😏
C = {1, 2} é um conjunto, certo?
Porém no conjunto D = {1, 3, {1, 2}, 4} ele será considerado um elemento, ou seja, {1, 2} ∈ A.
Uma cidade é um conjunto de pessoas que representam os moradores da cidade, porém uma cidade é um elemento do conjunto de cidades que formam um país.
👉 Referências aqui
💑 relacionamento entre dois conjuntos: conter
Conter, significa abrigar. Podemos dizer que o conjunto A está contido no conjunto B com uma condição: se todo elemento que pertence a A também pertencer a B.
Representando esta relação matematicamente, escrevemos A ⊂ B, e lemos "A está contido em B" (só pra ficar mais chique, rs).
A letrinha que representa a expressão "está contido em" é tipo um C só que mais magrinho e puxadinho ⊂ . O lado aberto da letra sempre estará virado para o conjunto que contém o outro (pensemos "o conjunto que abriga"), porém, existe alguns detalhes importantes que você deve ficar atento!
Vamos imaginar que B é o conjunto que abriga o conjunto A, certo?
Bem, se o A estiver escrito antes do B (se A estiver à esquerda), vamos usar o símbolo aberto para o lado do B: A ⊂ B, e vamos falar (e pensar também, viu?) "A está contido em B".
Agora, se o A vier depois do B (se A estiver à direita) vamos votar a parte aberta para B, ficando assim: B ⊃ A, e quando esta abertura muda de posição, também mudamos nossa fala (e pensamento) dizendo que "B contém A".
Parece complicado, mas com o tempo você se acostuma. Recapitulando:
A ⊂ B lê-se: A contido em B
B ⊃ A lê-se: B contém A
O conjunto A não estará contido em B quando existir pelo menos um elemento de A que não pertença a B, ou seja, o conjunto B precisa abrigar TODOS os elementos do conjunto A para afirmarmos que A ⊂ B, caso contrário A não está contido em B.
Indicamos que o conjunto A não está contido em B desta maneira: A ⊄ B e lemos "A não contido em B".
Observe os diagramas para visualizar melhor
Quando um conjunto A estiver contido em um conjunto B, vamos falar que A é um subconjunto de B, pois todo elemento do conjunto A pertence ao conjunto B também. E falando nisso, note que todo elemento do conjunto A pertence ao próprio conjunto A, não é mesmo? Então, dizemos que A é subconjunto de A. Sendo assim: todo conjunto é subconjunto dele mesmo 😊
Conjunto das partes
O conjunto das partes é formado por todos os subconjuntos (ou partes) de um determinado conjunto A. Chamamos este conjunto de "conjunto das partes de A" e escrevemos assim: P(A).
Dado: A = {1, 2, 3}
Temos: P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.
Se A é um conjunto de n elementos, então P(A) terá 2ⁿ elementos.
No exemplo que a gente viu, o conjunto A possui 3 elementos, então se colocarmos na formulinha do conjunto das partes vamos ter: P(A) = 2³ = 8 elementos.
💥 Nota: Dentro de um conjunto, um outro conjunto pode ser tratado como um dos seus elementos.
. . . . . . . . .
A relação de pertinência relaciona um elemento a um conjunto.
Só para gravar beeem na cachola:
A relação de inclusão refere-se, sempre, a dois conjuntos.
❌ Errado
2 ⊂ {0, 2, 4, 6, 8}
{2} ∈ {0, 2, 4, 6, 8}
✔ Correto
2 ∈ {0, 2, 4, 6, 8}
{2} ⊂ {0, 2, 4, 6, 8}
{2} ∈ {0, {2}, 4, 6, 8}
{2} ⊄ {0, {2}, 4, 6, 8}
Veja só o exemplo 😏
C = {1, 2} é um conjunto, certo?
Porém no conjunto D = {1, 3, {1, 2}, 4} ele será considerado um elemento, ou seja, {1, 2} ∈ A.
Uma cidade é um conjunto de pessoas que representam os moradores da cidade, porém uma cidade é um elemento do conjunto de cidades que formam um país.
👉 Referências aqui
